음...아이클라우드 계정으로 지메일 주소를 사용하더라도 이메일 확인은 지메일로 해야 하지 않나요?
그렇다면 아이클라우드 환경설정에서 메일에 대한 사용여부는 끔으로 하고,
"인터넷 계정" 환경설정에서 지메일 계정을 추가하고 이 계정에서 이메일 기능을 켜면 되지 않을까 싶습니다.

등대지기님께서 하시는 말씀 잘 이해가 됐는지는 모르겠습니다만,
지금 확인하니 글 내용대로 되어 있는 듯 합니다.
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계정을 로그아웃 시켰다가 인 하면 괜찮을까요?
그러면, iCloud에 저장되어진 연락처를 제외한 나머지는 다 지워진다는데,,,
무서워서 그렇게 하지는 못하고 있는 실정입니다. ㅠㅠ

음...제가 약간 난독증이었던 것 같아요. 왜 이메일 프로그램에서 이런 문제가 나타난 거라고 생각했던 건지...

그냥 아이클라우드 자체에 로그인이 잘 안되는 현상인 것 같네요.

아이클라우드 관련된 OS X의 라이브러리가 꼬였거나, 계정이 차단된 경우일 수 있을 것 같아요.

답글 감사합니다.
아이클라우드 자체 로그인은 잘됩니다.
위와 같은 메세지가 나타나는 곳은 주로 사파리를 켜고 끌 때 더 자주 나타납니다.
만약 라이브러리가 꼬였다면, 어떻게 해야 하는 지 알고 계시면 알려주십시오.